Các định nghĩa

• Hợp (Union): Hợp của A và B là tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập hợp A và B, ký hiệu A ∪ {\displaystyle \cup } B

Ta có A ∪ {\displaystyle \cup } B = {x: x ∈ {\displaystyle \in } A hoặc x ∈ {\displaystyle \in } B}

• Giao (Intersection): Giao của hai tập hợp A và B là tập hợp tất cả các phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B, ký hiệu A ∩ {\displaystyle \cap } B

Ta có A ∩ {\displaystyle \cap } B = {x: x ∈ {\displaystyle \in } A và x ∈ {\displaystyle \in } B}

• Hiệu (Difference): Hiệu của tập hợp A với tập hợp B là tập hợp tất cả các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B, ký hiệu A ∖ B {\displaystyle A\setminus B}

Ta có: A \ B = {x: x ∈ {\displaystyle \in } A và x ∉ {\displaystyle \notin } B}Lưu ý, A \ B ≠ {\displaystyle \neq } B \ APhần bù của A trong B

• Phần bù (Complement): là hiệu của tập hợp con. Nếu A ⊂ {\displaystyle \subset } B thì B \ A được gọi là phần bù của A trong B, ký hiệu CAB (hay CB A)
• Trong nhiều trường hợp, khi tất cả các tập hợp đang xét đều là tập con của một tập hợp U (được gọi là tập vũ trụ-đôi khi có nghĩa như trường hay không gian - trong vật lý), người ta thường xét phần bù của mỗi tập A, B, C,... đang xét trong tập U, khi đó ký hiệu phần bù không cần chỉ rõ U mà ký hiệu đơn giản là CA,CB,... hoặc A ¯ {\displaystyle {\overline {A}}} , B ¯ {\displaystyle {\overline {B}}} ...

Các tính chất cơ bản

Các phép toán trên tập hợp có các tính chất sau:

• Luật luỹ đẳng:

A ∪ {\displaystyle \cup } A = AA ∩ {\displaystyle \cap } A = A

Phát biểu: giao hoặc hợp của một tập hợp với chính nó cho kết quả là chính nó. Mặt khác, hợp của một tập với phần bù của nó cũng là chính nó nhưng giao của một tập với phần bù của nó lại là một tập rỗng.

• Luật hấp thụ (còn gọi là luật bao hàm):

A ∪ {\displaystyle \cup } (A ∩ {\displaystyle \cap } B) = AA ∩ {\displaystyle \cap } (A ∪ {\displaystyle \cup } B) = ALuật hấp thụ còn được viết dưới dạng khác như sau:Nếu A ⊂ {\displaystyle \subset } B thì A ∪ {\displaystyle \cup } B = B và A ∩ {\displaystyle \cap } B = A

• Luật giao hoán:

A ∪ {\displaystyle \cup } B = B ∪ {\displaystyle \cup } AA ∩ {\displaystyle \cap } B = B ∩ {\displaystyle \cap } A

• Luật kết hợp:

A ∩ {\displaystyle \cap } (B ∩ {\displaystyle \cap } C) = (A ∩ {\displaystyle \cap } B) ∩ {\displaystyle \cap } CA ∪ {\displaystyle \cup } (B ∪ {\displaystyle \cup } C) = (A ∪ {\displaystyle \cup } B) ∪ {\displaystyle \cup } C

• Luật phân phối:

A ∩ {\displaystyle \cap } (B ∪ {\displaystyle \cup } C) = (A ∩ {\displaystyle \cap } B) ∪ {\displaystyle \cup } (A ∩ {\displaystyle \cap } C)A ∪ {\displaystyle \cup } (B ∩ {\displaystyle \cap } C) = (A ∪ {\displaystyle \cup } B) ∩ {\displaystyle \cap } (A ∪ {\displaystyle \cup } C)

• Luật De Morgan:

A ∪ B ¯ {\displaystyle {\overline {A\cup B}}} = A ¯ ∩ B ¯ {\displaystyle {\overline {A}}\cap {\overline {B}}} A ∩ B ¯ {\displaystyle {\overline {A\cap B}}} = A ¯ ∪ B ¯ {\displaystyle {\overline {A}}\cup {\overline {B}}}